Wie funktioniert die elektrische Modelleisenbahn? -- Grundlagen:Allgemeines zu Meßgeräten und Meßwerten

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2. Grundlagen

2.1 Allgemeine Anmerkungen zu Meßgeräten

2.1.1 Zum Gebrauch von Meßgeräten

Meßgeräte gibt es sowohl in analogen als auch digitalen Ausführungen. In der Modellbahn kommen sie oft erst dann zum Einsatz, wenn Fehlfunktionen auftreten, oder der Betreiber die Hintergründe des Betriebs bzw. der Funktion ergründen will. Andererseits liest man oft Angaben zu Abmessungen, deren Genauigkeit in ihrer Relevanz für den Betrieb fragwürdig erscheinen kann.
In erster Linie sind für den Modellbahner Meßgeräte elektrischer Kennwerte von Interesse: Spannung, Strom, Widerstand, Frequenz. Daneben gibt es noch Spezialgeräte zur Messung elektrischer Leistungen, Kapazitäten, Induktivitäten und weitere. In den meisten Fällen wird man sich mit den ersten vier genannten Größen begnügen.
Anhänger maßstabsgerechter Umsetzung benutzen bevorzugt mechanische Meßgeräte: Schiebelehre und/oder Mikrometerschraube. Ferner werden noch Geschwindigkeitsmesser, Uhren, und gelegentlich auch Temperaturfühler eingesetzt. Die Vielzahl unterschiedlicher Geräte macht eine kurze Betrachtung der Meßwerte und -geräte notwendig. Weitere Informationen zu Meßgeräten finden sich in Schul-/Lehrbüchern der Physik oder Elektrotechnik (siehe auch Abschnitt 7), sowie in den Katalogen der verschiedenen Elektronik- und Meßtechnikhändler.

Vor Benutzung von Meßgeräten unbedingt die Bedienungsanleitung durchlesen oder eine Fachkraft dazu befragen!

2.1.2 Analoge Meßgeräte

Unter der Bezeichnung "analog" sind Meßgeräte zu verstehen, welche ohne komplizierte, elektronische Hilfs- und Anzeigemittel auskommen. Manchmal sind Diese auch stromlos betreibbar. Als Beispiele mögen hier Thermometer und sog. "Drehspulvoltmeter" genannt sein. Eine Messung mit diesen Geräten erfolgt sehr einfach nach der spezifischen Anleitung. Erhaltene Werte werden an der Skala entsprechend abgelesen und notiert. Beispiele: 25°C; 1,5V; 151mm; 45,3s.
Diese Werte sind Anhaltspunkte; eine Aussagekraft haben sie nur dann, wenn deren Genauigkeit bekannt ist. Letztere ist oft in der Anleitung angegeben (z.B. Klasse 1.5 mit der Bedeutung +/- 1,5% vom abgelesenen Wert) oder sie muß abgeschätzt werden (halbe, kleinste Skaleneinteilung). Beispiele:

Die auf diese Weise ermittelte Genauigkeit (sie ist auch als Fehlergrenze zu betrachten) ist in absoluten Werten, also mit der selben Einheit des eigentlichen Meßwerts angegeben. Nun sind oft nicht die absoluten, sondern die relativen Fehler (in % vom Meßwert) von Interesse. Daher rechne man in obigen drei Beispielen den relativen Fehler aus (2%, 3,3%, 0,33% und 0,11%).

2.1.3 Digitale Meßgeräte

Mit digitalen Meßgeräten kann eine höhere Genauigkeit erreicht werden, doch sind auch diese Art von Meßgeräten nicht fehlerfrei. Bei den meisten Geräten ist der relative Fehler in der Anleitung angegeben. An unseren Beispielen folgende Angaben in % für digitale Meßgeräte: Thermometer 1; Voltmeter 1,5; Laserzollstock 1 und Digitalstopuhr 1. Daneben werden auch Angaben zur "Auflösung" gemacht, mit der die Meßwerte abgelesen werden können: Thermometer 0,1°C; Voltmeter 0,01V; Laserzollstock 0,1mm und Stopuhr 0,01s. Diese Angaben sind nur dann sinnvoll, wenn die relativen Fehler einen kleineren, absoluten Wert ergeben als die Auflösung. Man rechne dies an obigen Beispielen aus!
Zusätzlich zu den angegebenen relativen Fehlern, werden in den meisten Fällen noch die sog. "Digitalstellenfehler" in Einheiten der kleinsten Anzeigeeinheit angegeben. Wieder an unseren Beispielen: Thermometer +/-10; Voltmeter +/-2; Zollstock +/-5; Stopuhr +/-1. (man rechne den rel. Fehler aus!). Als gesamter, relativer Fehler des digitalen Meßgeräts wird die Summe aus angegebenem rel. Fehler und Digitalstellenfehler betrachtet. In unserem Fall sind dies

Man vergleiche mit den relativen Fehlern bei analogen Meßgeräten!

2.1.4 Angabe von Meßwerten

Jeder Meßwert sollte auf folgende Weisen angegeben werden: (Meßwert +/- absoluter Fehler) Einheit oder (Meßwert Einheit) +/- relativer Fehler %. Dabei sind noch ein paar Dinge zu beachten:

Ein Einhalten dieser Empfehlungen kann mitunter schwierig sein, vor allem wenn aus mehreren Meßgrößen berechnete mit direkt gemessenen Werten verglichen werden sollen. Hier helfen folgende Angaben:

2.1.5 Klassengrenzen und Erfahrungswerte

Oben angeführte Meßgeräte werden auch in Genauigkeitsklassen eingeteilt:

Folgende Tabelle zeigt aktuelle Durchschnittswerte, wie sie im Rahmen der Loktests gemessen wurden. Hierbei wurden noch einige Kennfarben benutzt, um einen Überblick zur statistischen Absicherung zu geben: rot für noch nicht abgesicherte (d.h. unzureichende Anzahl von Messungen), gelb für fast abgesicherte (es fehlen nur noch wenige Messungen) und grün für abgesicherte Durchschnittswerte.
Meßgrößedurchschnittliche, prozentuale ToleranzAnzahl der
Messungen
Spannung +/-0.71% im Wechselstrombetrieb
+/-0.98% im geglätteten Gleichstrombetrieb
+/-0.79% im ungeglätteten Gleichstrombetrieb
+/-1.43% im Impulsbetrieb†
+/-0.92% im Digitalbetrieb (MMS)*
+/-0.98% im Digitalbetrieb (DCC)*
328
267
271
244
253
39
Strom +/-2.69% im Wechselstrombetrieb
+/-3.09% im geglätteten Gleichstrombetrieb
+/-3.12% im ungeglätteten Gleichstrombetrieb
+/-3.11% im Impulsbetrieb
+/-2.05% im Digitalbetrieb (MMS)
+/-2.2% im Digitalbetrieb (DCC)
328
267
271
244
253
39
Zeitkonstanz +/-1.88% im Wechselstrombetrieb
+/-2.17% im geglätteten Gleichstrombetrieb
+/-2.18% im ungeglätteten Gleichstrombetrieb
+/-2.3% im Impulsbetrieb
+/-0.8% im Digitalbetrieb (MMS)
+/-0.92% im Digitalbetrieb (DCC)
328
267
271
244
253
39
*  Die Standardabweichung der Meßwerte ist größtenteils kleiner als die Eigenabweichung des Meßgeräts, daher wird dann Letztere eingerechnet
†  Zur Berechnung der Toleranz addieren sich die relativen Fehler der Spannung und der Tastgrade quadratisch.

Zu obiger Tabelle ist noch anzumerken, daß manche gemessenen Toleranzen kleiner sind, als die des Meßgeräts, weshalb dann die Meßgerätetoleranz in die Rechnung eingeht. Aufgrund der obigen Resultate kann man Folgern, daß Betriebsmeßgeräte völlig ausreichend für die meisten Zwecke sind. Selbst bei den Geschwindigkeiten sind die üblichen Meßwagen mit einer abgeschätzten Toleranz von ca. 3% ausreichend. Für detaillierte und weitergehende Untersuchungen und Auswertungen sind dann natürlich bessere Meßgeräte erforderlich, die dann jedoch deutlich teurer sind.

2.1.6 Auftragen von Meßwerten in Diagramme

Hat man nun mit Hilfe von Meßgeräten Ergebnisse erhalten, ist es oft angebracht diese Werte zu vergleichen oder in einem Bild (Graphik) zwecks besserer Übersicht zu präsentieren. Ein reiner Zahlenvergleich kann zwar sinnvoll sein und einem schnellen Überblick dienen. Jedoch wird ein solcher Zahlenvergleich oft auf eine Art Quartettspiel mit der Frage "was hat den größeren (oder kleineren) Zahlenwert?" reduziert.
Will man nun ein Diagramm mit Meßergebnissen erstellen muß man ganz schematisch vorgehen, um Fehler zu vermeiden:

  1. Was will man im Diagramm darstellen? (z.B. wie ändert sich die Stromaufnahme, wenn ich den Motor belaste?)
  2. Welche Meßgeräte werden benötigt? (z.B. Thermometer)
  3. Welche Gegenstände sollen verwendet werden? (z.B. Modellneuheiten)
  4. Ist ein geeigneter Meßaufbau vorhanden? (z.B. Modellbahnanlage)
  5. Bestimmung der Rahmenbedingungen (z.B. am Gleis angelegte Spannung)
  6. Erstellung einer Wertetabelle, in die die Meßwerte eingetragen werden (sog. "Urliste")
  7. Durchführung der Messung(en) mit Ausfüllen der Urliste und Notation aller (!) Beobachtungen
  8. Erstellen des Diagramms anhand der Urliste.
  9. Auswertung und Diskussion des Diagramms
Anhand dieser Aufstellung soll an einem Beispiel die Vorgehensweise erläutert werden.

Oft werden Modelle nach ihrem Fahrverhalten beurteilt, was in erheblichem Maße auch an der benutzten Spannung abhängt. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage "wie ändert sich die Geschwindigkeit, wenn ich die Spannung verändere?" Diese Abhängigkeit ist am besten in einem Diagramm zu erkennen: dem vU-Diagramm (Formelzeichen finden sich im Abschnitt   8.1 Formelzeichen und Abkürzungen). Also ist:

1. Was will man im Diagramm darstellen? (Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Spannung)

Für Spannungen gibt es Multimeter mit den verschiedensten Bereichen und Qualitäten. Bei Geschwindigkeiten gibt es mehrere Möglichkeiten. Die bequemste Methode ist, die Geschwindigkeit direkt mit einem Meßwagen zu bestimmen, welcher alle Umrechnungen automatisch vornimmt. Genauer geht es, indem die Streckenlänge mit einem Meter und bei einer Rundfahrt die Zeit mit einer Stopuhr gemessen wird. Die Geschwindigkeit errechnet sich zu Strecke*Maßstab/Zeit. Als Meßgeräte werden hier Metermaß und Stopuhr benötigt. Folglich:

2. Welche Meßgeräte werden benötigt? (Voltmeter = GMC-I M230B, Stopuhr = Rucanor, Metermaß = Meter)

Nach der Auswahl der Meßgeräte wird das zu untersuchende Objekt gewählt (manchmal kann diese Reihenfolge auch umgekehrt sein):

3. Welche Gegenstände sollen verwendet werden? (Modellkatalognummer M30159.1)

Nach dieser Auswahl steht nun die Frage nach einem geeigneten Meßaufbau:

4. Ist ein geeigneter Meßaufbau vorhanden? (Anlage mit 13,2m Streckenlänge)

Als nächstes muß die Art und Weise, sowie die Umgebung dokumentiert werden; gegegebenenfalls. mit Begründungen:

5. Bestimmung der Rahmenbedingungen (abgeschmiertes, mindestens 30 min eingefahrenes Modell)

Anschließend wird die Wertetabelle erstellt. Gemäß Punkt 1 benötigen wir 3 Spalten oder Zeilen: a) Spannung b) gestoppte Zeit (weil wir eine Stopuhr benutzen) c) ausgerechnete Geschwindigkeit. Weitere Beobachtungen (z.B. Temperatur/Datum usf.) werden ebenfalls vermerkt; hier wollen wir uns mit der genannten Tabelle begnügen:

6. Erstellung einer Wertetabelle, in die die Meßwerte eingetragen werden
7. Durchführung der Messung(en) mit Ausfüllen der Urliste
Spannung in V4.275.066.167.558.9810.1111.9915.216.1216.6917.3717.8217.6717.37
Zeit pro Runde in s215.8592.2260.9646.5639.1034.1929.4725.5024.5623.9123.5623.2523.0623.43
Geschwindigkeit in km/h19.1344.7767.7288.67105.58120.75140.08161.89168.09172.66175.22177.56179.02176.2

Nach dem Ausfüllen der Wertetabelle braucht man zum Zeichnen des Diagramms kariertes Papier (oder einen Computer). Bevor man die Achsen einteilt, betrachtet man sich die Werte in der Tabelle, um sich einen Überblick zur Achseneinteilung zu machen. Man fängt im Allgemeinen bei jeweils 0 an und zählt sich in festen Abständen (z.B: Kästchen oder cm) bis zum größten Wert in der Tabelle. Dabei ist es sinnvoll und aufwandsparend, wenn man den nächstgrößeren Wert nimmt, der eine möglichst einfache Einteilung ergibt. Beispiel: größter Meßwert 384 Einheiten; zu wählendes Maximum im Diagramm: 400. Hat man diesen Schritt erledigt, kann man ein Achsenkreuz einzeichnen. Die Abszisse erhält die vorgegebenen (in unserem Fall die Spannungen), die Ordinate die erhaltenen (im Beispiel die aus der Zeit berechneten Geschwindigkeiten) Werte. Ist nun die richtige Einteilung (Skalierung) gewählt, so trägt man jeweils die zusammengehörenden Wertepaare ein, indem man auf der Abszisse von 0 bis zum jeweiligen Spannungswert geht, und dann nach oben, bis man auf der selben Ordinatenhöhe, wie der zweite Wert ist. Dort trägt man sein Symbol (Kreis, Stern, Kreuz usf.) ein.

Beim Eintragen von Wertepaaren in ein Diagramm dürfen die Punkte nicht verbunden werden!

8. Erstellen des Diagramms anhand der Urliste

Ist dann das Diagramm gezeichnet, kann die Auswertung beginnen:

9. Auswertung und Diskussion des Diagramms

Diese kurze Auswahl kann selbstverständlich um weitere Punkte erweitert werden, je nachdem welche weitere Zielsetzungen existieren. Meistens reicht ein Vergleich mit ähnlichen Modellen aus, um sich einen Überblick zu verschaffen. Sofern bei allen Diagrammen der selbe Maßstab benutzt wurde, ist es sogar möglich Folienausdrucke direkt übereinander zu legen für einen bestmöglichen Vergleich.

2.1.7 Verwendung von Fehlerbalken

Die im letzten Abschnitt durchgeführte Diagrammerstellung ist für seriöse Angaben noch zu erweitern, indem die am Anfang des Kapitels genannten Toleranzen mit eingezeichnet werden. Hat man diese Toleranzen in Prozent des Meßwerts vorliegen, so lassen sich diese Toleranzen sehr einfach mit ins Diagramm einzeichnen. Beim Einzeichnen von Hand ist ein "wenig" Rechenarbeit notwendig, beim automatischen Erstellen mittels Computer meistens ein geringfügiger Mehraufwand beim Programmieren. Hat man keine Standardabweichung der Meßwerte gemessen (z.B. Zeitmessung über mehrere Runden bei konstanter Spannung), so muß man die Genauigkeit der Meßgeräte für diesen Zweck benutzen. Zudem sind noch Überlegungen notwendig, welche Toleranzen überhaupt eingezeichnet werden sollen. Dies hängt stets auch von der Fragestellung ab. Ansonsten wird auf den Anfang dieses Kapitels verwiesen.

Obiges Diagramm mit Spannungs-Fehlerbalken: Als prozentualer Fehler wurde experimentell bestimmt: +/- 0.12% in der Spannung, sowie +/- 3% in der Geschwindigkeit.

Nun mit Fehlerbalken in der Geschwindigkeit:

Und zum Schluß mit beiden Fehlerbalken:

Das folgende Diagramm dient nur zum Vergleich zu oft genannten "riesigen" Streuungen. Eingezeichnet sind die selben Meßwerte, nur diesmal mit Fehlerbalken von jeweils 20%

2.1.8 Einfache Grundlagen der Statistik [Bamb1], [Bamb2], [Bron1], [Stoe1], [Rinn1]

Die bisher benutzten Meßergebnisse, erstellten Diagramme oder Tabellen verwenden Grundlagen der Statistik. Vielfach schrecken Menschen allein schon vor dem Begriff zurück, weil dieser mit (zu) viel Mathematik und damit als viel zu kompliziert oder unnötig angesehen wird. Dennoch, und das ist recht inkonsequent, wird gerade auf diese Ergebnisse Bezug genommen. Daher soll an dieser Stelle eine kleine Einführung in die Statistik stehen, wie sie in oben genannten Präsentationsformen genutzt wird. Zuerst also ein paar Definitionen:

Stichprobenumfang: Anzahl der Meßwerte, Formelzeichen n (ohne Einheit)
Mittelwert (Durchschnitt): Summe aller Meßwerte dividiert durch ihre Anzahl
Maximum: größter aller Meßwerte
Minimum: kleinster aller Meßwerte
Spannweite: Differenz zwischen Maximum und Minimum (umfaßt alle Meßwerte!)
relative Spannweite: Quotient aus Spannweite und Mittelwert (ein Maß für die Streuung)
Median: der (durch Abzählung erhaltene) mittlere Wert, wenn alle Meßergebnisse der Größe nach sortiert sind.
Klassen: Aufteilung der Spannweite in ganzzahlige Gruppen äquidistanter Wertebereiche unter Abzählung der Meßwerte, die jeweils enthalten sind.
Modalwert: Klassenmitte der am häfigsten vorkommenden Klasse.
Standardabweichung: Quadratwurzel aus dem Quotienten der Summe aller Quadrate aus Einzelmeßwert-Mittelwert und dem um Eins verminderten Stichprobenumfang. (aufwändiger, aber exakter Wert)
Standardabweichung Typ B: Quotient aus relativer Spannweite und der Quadratwurzel aus 24. (leicht berechenbar ohne großen Aufwand)
Vor diesem Hintergrund sind die folgenden Angaben zu verstehen:
Nehmen wir die zum Erstellen des Diagramms benutzten Zeiten für jeweils eine Runde: 215.85 s,  92.22 s,  60.96 s,  46.56 s,  39.10 s,  34.19 s,  29.47 s,  25.50 s,  24.56 s,  23.91 s,  23.56 s,  23.25 s,  23.06 s,  23.43 s,  
Insgesamt also eine Zeit von 685.62 s.Daraus berechnet sich die mittlere Zeit, indem die Gesamtsumme durch die Anzahl der Messungen dividiert wird (Mittelwert): 48.97 s. Der nächste Schritt zur Beurteilung von Meßreihen ist der Umfang, innerhalb dessen alle Werte liegen. Man schaue also nach dem größten und dem kleinsten Wert innerhalb der Meßreihe: kleinster Wert: 23.06 s; größter Wert: 215.85 s. Die Differenz dieser beiden Werte ist (hier 192.79 s) .
Als Qualitätskriterium gilt: je kleiner die Spannweite, desto besser. Doch sind die Spannweiten zwischen verschiedenen Kennwerten so nicht vergleichbar aufgrund ihrer unterschiedlichen Größe. Aus diesem Grund ist es besser, die Spannweite in Form eines Prozentwerts auf den Durchschnitt (max+min)/2 (119.46 s) zu beziehen. Dieser muß keineswegs mit dem oben genannten Durchschnitt übereinstimmen. In unserem Beispiel sind dies folglich: 161.38 %. Die Erfahrung zeigt jedoch: das erhaltene Ergebnis ist immer noch viel zu groß. Und genau hier kommt der Einfluß einer großen Zahlenmenge ins Spiel: je nach Art, wie sich die Zahlenwerte innerhalb dieser Spannweite verteilen, muß der Zahlenwert durch einen Faktor dividiert werden. Für einfache Betrachtungen ist dies der Faktor 5 genauer: die Quadratwurzel aus 24.. Also kommen wir auf 32.28% . Dieser Prozentsatz wird "Streuung" genannt, weil im Bereich (Mittelwert + Streuung) bis (Mittelwert - Streuung) bereits 68% aller Zahlenwerte liegen, sofern die Anzahl groß genug ist; dies ist hier nicht der Fall. Diese einfache Methode (auch Typ B-Auswertung genannt) ist immer dann vorteilhaft, wenn nur zwei oder extrem viele Zahlenwerte vorliegen. Will man genauere Analysen, ist eine ausführliche Rechnung notwendig.

Zum Abschluß dieses Kapitels noch eine Erklärung zu den Angaben in der Tabelle von 2.1.5 Klassen und Erfahrungswerte. Dort werden farblich markierte Prozentwerte angegeben, die die angegebenen Toleranzen in eine Art "abgesichert" einstufen. Diese Einstufung basiert auf der Tatsache, daß mit einer zunehmenden Anzahl von Messungen der Durchschnitt immer präziser angegeben werden kann. Ab einer bestimmten Zahlenmenge jedoch, ist die Genauigkeit nicht mehr weiter mit Hilfe der Statistik zu steigern. Man spricht dann von "Sättigung". Eine höhere Präzission läßt sich dann nur durch verbesserte Rahmenbedingungen erreichen. Folgende Tabelle gibt eine Übersicht zur Anzahl der Meßwerte, ab der mit einer Sättigung zu rechnen ist Benutzt wurden für diese Angaben die kleinste Anzahl von Freiheitsgraden, ab der die Zahlenwerte des t-Faktors aus der Student-Verteilung um weniger als der angegebene Prozentsatz von dem des Faktors für unendlich viele Freiheitsgrade abweicht.

Abgeschätzte Stichprobenzahl, ab der eine Sättigung der Streuung auftritt
Toleranz in %10987654,543,53 2,521,510,90,80,70,60,50,40,3 0,20,1
Freiheitsgrade111214172126283439 496182116193218251296357443581817 ca. 1400ca. 3300

 

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Stephan-Alexander Heyn